Kurt Gödel Kimdir? Gödel’in Eksiklik Teoremleri Nedir, Ne Değildir?

1920’lerin başında Alman matematikçi David Hilbert, klasik matematiğin temeli için Hilbert’in Programı olarak bilinen bir fikir öne sürdü. Bu fikir birdenbire aklına gelmemişti, Öklid’den beri matematik, aksiyomlar üzerinden yürütülüyordu. Fakat bazı noktalarda sorunlar ortaya çıkmaya başlamıştı.

David Hilbert’e göre matematik eksiksiz, tutarlı ve karar verilebilir yapıda olmalıydı. Bu nedenle Hilbert, tüm matematiğin aksiyomatik biçimde formalize edilmesini ve bu aksiyomatizasyonun tutarlı olduğunun “sonlu” yöntemle kanıtlanmasını istiyordu. Ancak o sıralar henüz çok genç bir matematikçi olan Kurt Gödel, verdiği bir konferansta Hilbert’in hayallerini deyim yerindeyse suya düşürecekti.

Elbette böylesi büyük bir amaca karşılık Kurt Gödel’in bunun gerçekleşemeyeceğini söylemesi matematik camiasını şaşırtmıştı. Peki ama Gödel’in Eksiklik Teoremleri olarak bildiğimiz bu teoremler bize anlatıyor? Hilbert’in hayali neden ve nasıl gerçek olamaz? İşe Kurt Gödel’i tanıyarak başlayalım.

Kurt Gödel Kimdir?

Tam adıyla Kurt Friedrich Gödel, 28 Nisan 1906’da Avusturya-Macaristan’ın Brünn şehrinde doğdu. Gödel’in babası Rudolf August, bir iş insanı; annesi Marianne ise iyi eğitimli ve kültürlü bir kadındı. Ailenin durumu Gödel’in sık sık yaşadığı hastalıklar haricinde gayet iyiydi.

Sağlık sorunlarına rağmen Gödel, oldukça başarılı bir öğrenciydi. Özellikle matematik, dil ve din derslerinde mükemmeldi. Gödel 1924’te Gymnasium’dan mezun olduktan sonra Viyana Üniversitesi’ne kaydoldu. Burada fizik, felsefe ve matematik derslerine katıldı.

1930’lu yıllar Gödel için olağanüstü bir on yıldı. Gödel’in Eksiklik Teoremleri şüphesiz şaşırtıcıydı ancak çok da beklenmedik değildi. Eksiklik Teoremleri küme teorisi bağlamında 1928’de Tarski ve Bernays tarafından düşünülmüştü. Ayrıca John von Neumann, Hilbert’in Programı’nın baskın amacına rağmen matematiğin karar verilebilir yapıda olmayabileceğini düşünüyordu.

Hilbert, Peano artimetiği ve diğer standart teorilerin eksiksiz olduğunu düşünüyordu. Gödel de Hilbert’in Programı’na katkıda bulunmaya çalışırken çeşitli sorunlarla karşı karşıya kaldı. Bu da onun eksiklik teoremlerini ortaya koymasını sağladı. Daha sonra Gödel, 7 Eylül 1930’da Könisberg’teki sıradan bir konferansta birinci eksiklik teoremini açıkladı.

Konferansın dinleyicileri arasında o sıralar Hilbert’in Programı için çalışan John von Neumann da vardı ve Gödel’in ulaştığı sonuçların önemini hemen anlamıştı. Von Neumann 20 Kasım’da Gödel’e birinci teoreminin dikkate değer bir sonucu olduğunu anlatan bir mektup yazdı. Mektup ikinci eksiklik teoremi hakkındaydı ve Gödel de zaten bu sonucu öngörmüştü.

Gödel’in Eksiklik Teoremleri

Gödel’in eksiklik teoremlerini iyi anlayabilmek adına teoremleri tanımlayan bazı kavramları anlamamız gerekir:

• Resmi sistem, kabaca yeni teoremler üretilmesine izin veren çıkarım kurallarıyla donatılmış aksiyom sistemidir.
• Aksiyomlar kümesinin sonlu veya en azından kararlaştırılabilir olması gerekir. Yani, elimizde belli bir ifadenin aksiyom olup olmadığına karar vermemizi sağlayan bir algoritma olmalıdır. Bu koşullar sağlanıyorsa teoriye öz yinelemeli aksiyomatize edilebilir ya da kısaca aksiyomatize edilebilir denir.
• Resmi bir sistem, kendi dili içerisinde kanıtlanabiliyorsa tamdır. Bu resmi sistemde ifadelerin kendisinin veya kanıtlarının türetebileceği başka bir ifade yoksa sistem tutarlıdır.
• Karar verilebilirlik ise kuşkusuz Hilbert’in istediği en zor şeydir. Çünkü bir sistemin karar verilebilir yapıda olması için öyle bir algoritma olmalıdır ki, sistemin aksiyomlarına bakarak kanıtlanabilir olup olmadığını anlamalıdır.

Gödel’in teoremleri, tutarlı sistemler için geçerlidir. Çünkü tutarsız bir sistemde istediğimiz her şeyi kanıtlayabiliriz.

Birinci Eksiklik Teoremi

Gödel’in Birinci Eksiklik Teoremi, Hilbert’in matematikte istediği ilk iki özelliğin yani tamlık ve tutarlılığın aynı anda gerçekleşemeyeceğini anlatır. Yani eğer bir sistem tamsa tutarlı; tutarlıysa da tam olamaz. Bunu daha matematiksel bir şekilde ifade edecek olursak şöyle söyleyebiliriz:

Belli bir miktarda temel aritmetiğin gerçekleştirilebileceği herhangi bir FFF sistemi eksiktir. Eğer FFF tutarlıysa o zaman FFF‘de öyle bir AAA cümlesi vardır ki FFF, ne AAA‘yı ne de ¬A\neg A¬A‘yı kanıtlayamaz.

İkinci Eksiklik Teoremi

Gödel’in İkinci Eksiklik Teoremi, Hilbert’in matematiği biçimselleştirmek için koyduğu üçüncü şartı, yani karar verilebilirliği hedef alıyordu. Bu teoreme göre, belirli bir miktarda temel aritmetiğin gerçekleştirilebildiği herhangi bir FFF sisteminde FFF‘in tutarlılığı, FFF‘in kendisinde kanıtlanamazdı.

Bu demek oluyor ki bir sistemin tutarlı olup olmadığını kanıtlamak için o sistemden daha büyük bir sisteme başvurmamız gerekiyor. Ancak burada karşımıza bir sorun çıkıyor: Başvurduğumuz o daha büyük sistemin de tutarlı olup olmadığının kanıtlanması gerek. Bu şekilde daha büyük sistemlere doğru sonsuza dek gidebilmek mümkün.

Gödel’in Birinci Eksiklik Teoreminin Gayriresmî Bir İspatı

Bu kanıta başlamadan önce Gödel’in kendi ispatında da kullandığı eşleme yöntemini anlamamız gerekiyor. Gödel, bir aksiyom sistemi içerisindeki ifadeleri sayılarla ilgili ifadelerle eşliyordu. Böylece sistem içerisindeki her bir matematiksel ifade benzersiz Gödel numaralarına sahip oluyordu.

Quanta Magazine

Tablodaki SSS sembolü sayıları ifade etmemizi sağlayacak. Örneğin S0S0S0 1; SS0SS0 SS0 2; SSS0SSS0SSS0 3 anlamına geliyor. x,y,zx, y, zx,y,z gibi değişkenleri ifade eden harfleri de 13’ten itibaren tek sayılarla eşleştirelim. Böylece artık doğal sayılarda istediğimiz formülasyonu yazıp Gödel numarasına bakabiliriz.

Örneğin 0=00=00=0 ifadesini düşünelim. Bu eşitliği Gödel sayılarıyla yazmak istediğimizde 6, 5 ve 6’yı kullanırız. İşte tam bu noktada Gödel, her bir formülasyonun kendisine ait benzersiz bir Gödel sayısı olması için asal sayıları kullanmıştır. Böylece 0=00=00=0 eşitliği 26.35.562^6.3^5.5^626.35.56 olarak yazılmış, yani 0=00=00=0 ifadesinin Gödel sayısı 243 000 000 olarak belirlenmiştir.

Gödel daha sonra bir adım daha ileri gitmiştir. Matematiksel bir ispat bir dizi formülden oluşur. Bu nedenle her bir formül dizisine de tıpkı yukarıda yaptığımız gibi asal sayıları kullanarak benzersiz bir Gödel numarası verilebilir. Yani elimizdeki ispatın ilk formül dizisinde ilk sırada 0=00=00=0 ifadesi yer alıyorsa, ispatı temsil etmek üzere 2 üzeri 243 milyondan başlayan bir sayıyı kullanmamız gerekir.

Bu yöntemdeki asıl güzellik ise metamatematiksel olarak adlandırdığımız aritmetiksel ifadelerin dahi kendi Gödel sayılarına sahip olmasıdır. Mesela ∼(0=0)\sim(0=0)∼(0=0) yani sıfır sıfıra eşit değildir ifadesini düşünelim. İfade bariz bir şekilde yanlıştır ancak buna rağmen bir Gödel sayısına sahiptir. (Yukarıdaki tablodan tilda ve parantezlerin hangi sayılara karşılık geldiğine bakarak ifadenin Gödel sayısını kolayca hesaplayabilirsiniz.)

Sistem içerisindeki ifadelerin benzersiz Gödel sayılarıyla ifade edilmesiyse aslında bir nevi sistemin tutarlı olduğunu göstermektedir. Ancak sistemi kendi dili içerisinde kanıtlayamadığımız için sistemin tam olduğunu söyleyemeyiz.

Gödel’in bu teoremini daha iyi anlamak adına “Bu cümle kanıtlanabilir değil.” cümlesini düşünelim. Eğer cümle doğruysa cümlenin kanıtlanabilir olduğu sonucuna ulaşırız. Tam tersine eğer cümle yanlışsa, cümlenin doğru olduğu sonucuna ulaşırız. Yani bir çelişki söz konusudur. Bu gibi cümlelere Gödel cümlesi adı verilir. Gödel’in birinci teoremini, bu paradoksun matematiğe dökülmüş hali olarak düşünebiliriz.

Eksiklik Teoremleri Matematiğe Güvenemeyeceğimizi mi Söylüyor?

Eksiklik teoremleriyle ilgili genel bir yanlış kanı, teoremlerin matematiğin kusurlu olduğunu ortaya koyduğu düşüncesidir. Ancak bu fikir yanlıştır çünkü eksik olmayan sistemler bulmak mümkündür. Yani Hilbert’in hayaline uygun bir biçimde hem tam hem tutarlı hem de karar verilebilir yapıda sistemler mevcuttur.

Örneğin doğal sayıların sadece toplanmasını içeren Presburger aritmetiği hem toplama hem de çarpmayı içeren Peano aritmetiğinin aksine karar verilebilir yapıda bir teoridir. Yani Presburger aritmetiğinin aksiyomlarına bakarak onun kanıtlanabilirliği hakkında yorum yapabiliriz.

Presburger aritmetiği gibi başka örnekler de vardır. Ancak asıl ilginç olan şey, Gödel’in teoremlerine uymayan zayıf ama ilginç teorilerin de var olduğudur.

Eksiklik Teoremleri ve Yapay Zekâ

Gödel’in eksiklik teoremlerinden sonra güçlü bir yapay zekânın geliştirilemeyeceği doğrultusunda argümanlar öne çıkmaya başlamıştır. Bu argümanın ortaya çıkmasının sebebi ise Gödel’in teoremlerinin fikrin savunucularına insan zihninin herhangi bir mekanizmayı veya biçimsel sistemi aştığını düşündürmesidir. Bu argüman, bilim camiasında çok tartışılan konulardan biri olmasına rağmen günümüzde doğru olmadığı düşünülmektedir.

Çünkü argüman; herhangi bir resmileştirilmiş sistem veya sonlu bir makine için o sistemde kanıtlanamayan, ancak insan zihninin doğru olduğunu görebildiği bir Gödel cümlesinin var olduğunu varsaymaktadır. Yine de Gödel’in teoremi gerçekte koşullu bir biçime sahiptir ve bir sistemin Gödel cümlesinin iddia edilen doğruluğu, sistemin tutarlılığının varsayımına bağlıdır. Bu nedenle bu argüman, insan zihninin belirli bir resmileştirilmiş teorinin tutarlı olup olmadığını her zaman görebilmesini gerektirir. Nitekim bu son derece mantıksızdır.

University of Oxford Mathematical Institute

Gödel’in Teoremleri Tanrı’nın Varlığının Bir Kanıtı Olabilir mi?

Eksiklik teoremlerinden çıkarılan ilginç sonuçlardan birisi de Tanrı’nın varlığı üzerinedir. Ancak Gödel’in teoremlerinin Tanrı’nın varlığını ya da yokluğunu kanıtladığını söylemek mantıksızdır. Teoremlerin Tanrı’nın varlığını ya da yokluğunu kanıtlamasına ilişkin fikirlerin ortaya çıkması, muhtemelen yukarıda da bahsettiğimiz gibi teoremlerin eksik veya yanlış anlaşılmasından kaynaklanmıştır.